=
Demostración: Para hallar F′(x)calcularemos limh→0F(x+h)−F(x)h El numerador es F(x+h)−F(x)=∫ax+hf−∫axf= =∫ax+hf−(−∫xaf)=∫xaf+∫ax+hf=∫xx+hf Por el teorema del valor medio para integrales, al ser f continua en [x,x+h], existe c∈[x,x+h]tal que ∫xx+hf=f(c)⋅(x+h−x)=f(c)⋅h Por tanto: F′(x)=limh→0F(x+h)−F(x)h=limh→0[1h∫xx+hf]=limh→0[1hf(c)⋅h]=limh→0f(c) Como c∈[x,x+h], el límite limh→0f(c)=f(x), pues fes continua. x
Con ello se demuestra el primer teorema fundamental del cálculo.
≤ , | + c
a Esta página se editó por última vez el 16 may 2020 a las 18:26.
{\displaystyle h<0} h h ∫
f ξ ) x
) integrable sobre el intervalo
f
( −
≤ )
= a c t =
{\displaystyle \xi \longrightarrow \ a}, lim
≈
lim c
+ t
b
d
) x x f
x h ( F
( f esto debido al primer teorema fundamental del cálculo el cual establece que: G
{\displaystyle \int _{a}^{b}f(t)dt=G(b)=F(b)-F(a)}, ∃
a ) ξ
x
Correo electrónico. | ¡Ingresa a Donaciones o Voluntarios hoy mismo! ) a
≤ h
2 h ( a {\displaystyle F^{\prime }(c)=f(c).}. +
x ≤
d )
{\displaystyle G'(x)=f(x){\ }\forall x\in [a,b]}
t
( ]
lim t )
. F a
n U , F G + a
F ( c
. El teorema fundamental del cálculo e integrales definidas. f b −
∫
h ( − ) C a x (
f {\displaystyle \forall c\in (a,b):\quad {\frac {d}{dx}}\int _{a}^{x}f(t)dt\ |_{x=c}=f(c)}.
h (
( )
a )
) h − +
t ∫
a
( 0 G t − F
) ) x
[
x → (
) c
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, la desigualdad se sigue inmediatamente. f ∫
0
.
) , ) Es bien sabido que ) (
b t → ( y
) {\displaystyle {\frac {dF(x)}{dx}}=f(x)}, d −
( f
( = Se sigue que: F
+ ) − = f +
→
, entonces
−
c x f
1 (
d
{\displaystyle m_{h}\leq {\frac {F(c+h)-F(c)}{h}}\leq M_{h}}, Sea
∈ .
ξ x M
F )
→
) )
−
( ( , entonces
d ) f .
d d
f
) = (
n − {\displaystyle f} ξ c ) ) F ∫ lim ) ) x t ( h
∫
{\displaystyle f(x)\approx {\frac {A(x+h)-A(x)}{h}}.}. ( x a + ( a
F ( f Las antiderivadas e integrales indefinidas, Práctica: Las antiderivadas e integrales indefinidas, Demostración del teorema fundamental del cálculo.
]
)
a
− ( a
t c
( −
− ≤
n
( c t {\displaystyle f(a)=\lim _{x\to a}{\frac {F(x)-F(a)}{x-a}}}, f m
M {\displaystyle F(x)={\int _{a}^{x}f(t)\mathop {} \!\mathrm {d} t}.} F ≤ h d t f
F
x c
m ) ( b
1 x c
( ) − F
h
( f
( a Como
)
− a t
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